Πράξεις Συνόλων

Ένα σύνολο ορίζεται ως μία συλλογή αντικειμένων τα οποία είναι μοναδικά και μη διατεταγμένα. Η θεωρία πιθανοτήτων κάνει εκτεταμένη χρήση συνόλων και μαθηματικών πράξεων μεταξύ συνόλων επομένως η εξοικείωση μαζί τους είναι σημαντική. Παρακάτω ορίζουμε τις βασικές πράξεις δύο συνόλων S και Τ:

• Ένωση: S∪T = {x | x∈S ή x∈Τ}
• Τομή: S∩T = {x | x∈S και x∈Τ}
• Συμπλήρωμα: S' = {x∈Ω | x∉S} δεδομένου ενός καθολικού συνόλου Ω

Ιδιότητες πράξεων συνόλων

Οι ιδιότητες αυτές είναι άμεσες συνέπειες των ορισμών των πράξεων συνόλων.

• (S')' = S
• S∩S' = ∅
• S∪Ω = Ω
• S∩Ω = S
• S∪T = T∪S
• Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ιδιότητα De Morgan για τα σύνολα Α₁,A₂,...,A_n:
  • (Α₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n)' = Α₁' ∩ A₂' ∩ ... ∩ A_n'
  • (Α₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_n)' = Α₁' ∪ A₂' ∪ ... ∪ A_n'
• Αν S ∩ T = ∅ τότε, τα σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους. Δεν έχουν, δηλαδή, κανένα κοινό στοιχείο.

Ακολουθεί ένα διαδραστικό διάγραμμα Venn στο οποίο προβάλλουμε δύο σύνολα Α (κόκκινο) και Β (μωβ) μέσα στο καθολικό σύνολο Ω. Μπορείτε να εισάγετε οποιαδήποτε πράξη μεταξύ των συνόλων και θα χρωματιστεί το χωρίο που αναλογεί στην πράξη αυτή. Επίσης, πειραματιστείτε αυξομειώνοντας τις ακτίνες των κύκλων και την απόσταση των κέντρων τους.

Πιθανότητες Ενδεχομένων

Για να περιγράψουμε μία αβέβαιη κατάσταση με μαθηματικούς όρους χρησιμοποιούμε μοντέλα πιθανότητας. Τα θεμελιώδη στοιχεία ενός τέτοιου μοντέλου είναι:

• O δειγματικός χώρος Ω ο οποίος αποτελείται από το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.
• Ο νόμος πιθανότητας ο οποίος σε ένα σύνολο Α δυνατών αποτελεσμάτων (Α ⊆ Ω), ή αλλιώς ενδεχόμενο, αναθέτει έναν μη αρνητικό αριθμό P(A) o οποίος δείχνει την πιθανότητα πραγματοποίησης του Α σε έναν δειγματικό χώρο Ω.

Διακριτός Δειγματικός Χώρος Ω

Έστω ότι ο Ω είναι πεπερασμένος και αποτελείται από Ν = |Ω| εξίσου πιθανά απλά ενδεχόμενα και το γεγονός Α περιέχει |Α| πιθανά αποτελέσματα. Για το ενδεχόμενο Α η πιθανότητα του ορίζεται ως εξής: $$P(A)=\frac{|A|}{N}$$

Συνεχής Δειγματικός Χώρος Ω

Για το ενδεχόμενο Α η πιθανότητα του ορίζεται ως εξής: $$P(A)=\frac{μ(Α)}{μ(Ω)}$$ όπου μ(Α) και μ(Ω) είναι το εμβαδόν των περιοχών Α και Ω αντίστοιχα.

Ιδιότητες

Έστω ότι έχουμε τα ενδεχόμενα Α και Β και τις πιθανότητες P(A) & P(B). Έχουμε τις εξής ιδιότητες:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 για κάθε ενδεχόμενο Α ⊆ Ω
• P(Ω) = 1
• P(A∪Β) = P(A) + P(B) για οποιαδήποτε ξένα ενδεχόμενα Α ⊆ Ω και Β ⊆ Ω
• P(A∪Β) ≤ P(A) + P(B) όπου η ανισότητα ισχύει όταν δεν είναι ξένα

Παρακάτω απεικονίζουμε δύο ενδεχόμενα Α (κόκκινος κύκλος) και Β (μπλε κύκλος) μέσα στο δειγματικό χώρο Ω ο οποίος απεικονίζεται με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μπορείτε να μεταβάλλετε τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου και της τομής τους μετακινώντας τον αντίστοιχο κέρσορα και να παρατηρήσετε τις τιμές των πιθανοτήτων.